圆中的位置关系

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2025-06-12 10:21:23

圆中的位置关系

点与圆的位置关系

点与圆的位置关系内容

点 PPP 和 ⊙A\odot A⊙A 的位置关系有三种：PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 外；PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 内；PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 上．

设 PPP 到圆心 AAA 的距离为 ddd，⊙A\odot A⊙A 的半径为 rrr，则：

PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 外，当且仅当 d>rd > rd>r．

PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 内，当且仅当 d

PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 上，当且仅当 d=rd = rd=r．

标准式上快速判断点与圆位置关系

⊙A\odot A⊙A：(x−xA)2+(y−yA)2=r2(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2(x−xA)2+(y−yA)2=r2．快速判断 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0) 和 ⊙A\odot A⊙A 的大小关系．

注意到将 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) 代入上述方程等号左侧得到

(x0−xA)2+(y0−yA)2(x_0 - x_A)^2 + (y_0 - y_A)^2(x0−xA)2+(y0−yA)2

不难看出这就是 PPP 到圆心 AAA 的距离 d2\* d^2d2，而等号右侧为 r2r^2r2，它们的大小关系可以直接说明 ddd 与 rrr 的大小关系：

d2>r2d^2 > r^2d2>r2，当且仅当 d>rd > rd>r，当且仅当 PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 外．

d2=r2d^2 = r^2d2=r2，当且仅当 d=rd = rd=r，当且仅当 PPP 在 ⊙A\odot A⊙A 上．

因此，在标准式中，只需：

直接将待判断点的坐标代入方程左侧．

看方程左侧的结果与方程右侧的大小关系，即可确定点与圆的位置关系．

例题 1.1判断点 (1,−3)(1, -3)(1,−3) 与圆 (x−2)2+(y+1)2=6(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 6(x−2)2+(y+1)2=6 的位置关系．

例题 1.1 解答(1−2)2+(−3+1)2=5<6(1 - 2)^2 + (-3 + 1)^2 = 5 < 6(1−2)2+(−3+1)2=5<6．因此点在圆内．

一般式上快速判断点与圆位置关系

⊙A\odot A⊙A：x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0．快速判断 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0) 和 ⊙A\odot A⊙A 的大小关系．

注意到

x2+y2+Dx+Ey+F=(x+D2)2+(y+E2)2−D2+E2−4F4x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = (x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 - \df{D^2 + E^2 - 4F}{4}x2+y2+Dx+Ey+F=(x+2D)2+(y+2E)2−4D2+E2−4F

因此对于一般式

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0

将 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0) 代入方程左侧后，左侧的结果为：

(x0+D2)2+(y0+E2)2⏟d2−D2+E2−4F4⏟r2\underbrace{(x_0 + \df D 2)^2 + (y_0 + \df E 2)^2}_{\red{d^2}} - \underbrace{\df{D^2 + E^2 - 4F}{4}}_{\red{r^2}}d2(x0+2D)2+(y0+2E)2−r24D2+E2−4F

也即左侧的结果为 d2−r2\* d^2 - r^2d2−r2，显然其与 000 的大小关系决定 ddd 与 rrr 的大小关系：

小于 000 时 d

等于 000 时 d=rd = rd=r，点在圆上．

大于 000 时 d>rd > rd>r，点在圆外．

因此一般式可以像标准式一样，将点的坐标直接代入方程左侧，与右侧比较，从而判定点的位置．

例题 1.2.1判断点 (1,1)(1, 1)(1,1) 与圆 x2+y2−4x−8y+15=0x^2 + y^2 - 4x - 8y + 15 = 0x2+y2−4x−8y+15=0 的位置关系．

例题 1.2.1 解答12+12−4−8+15=5>01^2 + 1^2 - 4 - 8 + 15 = 5 > 012+12−4−8+15=5>0．因此点在圆外．

例题 1.2.2若过点 (1,2)(1, 2)(1,2) 总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2−15=0x^2 + y^2 + kx + 2y + k^2 - 15 = 0x2+y2+kx+2y+k2−15=0 相切，求实数 kkk 的取值范围．

例题 1.2.2 解答首先方程要表示圆（至少需要让题目给出的方程是合法的圆一般式），Δ>0\Delta > 0Δ>0，即

k2+22−4(k2−15)>0k^2 + 2^2 - 4(k^2 - 15) > 0k2+22−4(k2−15)>0解得 −833

其次，过点能作圆的两条切线等价于点在圆外，类似地：

能恰作一条切线等价于点在圆上．

至少能作一条切线等价于点在圆上或点在圆外．

这里点在圆外，因此

12+22+2k+2×2+k2−15>01^2 + 2^2 + 2k + 2 \times 2 + k^2 - 15 > 012+22+2k+2×2+k2−15>0解得 k<−3k < -3k<−3 或 k>2k > 2k>2．

综合两个不等式的解集，可知 k∈(−833,−3)∪(2,833)k \in (-\df 8 3 \sqrt 3, -3) \cup (2, \df 8 3 \sqrt 3)k∈(−383,−3)∪(2,383)．

例题 1.2.3无论 aaa 取何值，直线 ax+a+y+1=0ax + a + y + 1 = 0ax+a+y+1=0 与圆 x2+y2−2x−2y+b=0x^2 + y^2 - 2x - 2y + b = 0x2+y2−2x−2y+b=0 始终相交，求 bbb 的取值范围．

例题 1.2.3 解答将含参直线拆成交点直线系：

a(x+1)+y+1=0a(x + 1) + y + 1 = 0a(x+1)+y+1=0即一个恰能取到经过定点 P(−1,−1)P(-1, -1)P(−1,−1) 的，除 x+1=0x + 1 = 0x+1=0 外所有直线的直线系．

该直线系中所有直线与圆相交，有两种可能：

可能性一：定点 PPP 在圆内．

此时过 PPP 的直线一定与圆相交．

可能性二：定点 PPP 在圆上，且过 PPP 的切线为 x+1=0x + 1 = 0x+1=0．

此时，过 PPP 的所有直线中，除切线以外所有直线与圆相交，只要这个切线是那个恰好取不到的线，则这种情况也成立．

第二种情形是可以排除的：注意到圆心为 (1,1)(1, 1)(1,1)，与 P(−1,−1)P(-1, -1)P(−1,−1) 连线不水平，因此 PPP 在圆上时，过 PPP 的切线一定不竖直，不可能为 x+1=0x + 1 = 0x+1=0．

因此只可能是 PPP 在圆内，有

(−1)2+(−1)2−2×(−1)−2×(−1)+b<0(-1)^2 + (-1)^2 - 2 \times (-1) - 2 \times (-1) + b < 0(−1)2+(−1)2−2×(−1)−2×(−1)+b<0解得 b∈(−∞,−6)b \in (-\infty, -6)b∈(−∞,−6)．

判定一般式是否表示圆的必要性讨论例题 1.2.2 中，需要特别判断 Δ>0\Delta > 0Δ>0，但例题 1.2.3 不用．为什么？

对于任意满足下面形式（Δ\DeltaΔ 不一定大于 000）的方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0将待判断点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0) 代入方程左侧的式子，得到的结果为

x02+y02+Dx0+Ey0+F=(x0+D2)2+(y0+E2)2⏟d2−Δ4⏟Δ>0时表示r2{x_0}^2 + {y_0}^2 + Dx_0 + Ey_0 + F = \underbrace{(x_0 + \df D 2)^2 + (y_0 + \df E 2)^2}_{d^2} - \underbrace{\df \Delta {4}}_{\Delta > 0 时表示 r^2}x02+y02+Dx0+Ey0+F=d2(x0+2D)2+(y0+2E)2−Δ>0时表示r24Δ例题 1.2.2 中，式子

x02+y02+Dx0+Ey0+F>0 ⟹ d2>Δ4{x_0}^2 + {y_0}^2 + Dx_0 + Ey_0 + F > 0 \implies d^2 > \df{\Delta} 4x02+y02+Dx0+Ey0+F>0⟹d2>4Δ当 Δ>0\Delta > 0Δ>0 时，方程表示圆，当且仅当 d2>Δ4=r2d^2 > \df{\Delta} 4 = r^2d2>4Δ=r2，表示点在圆外，上式成立．

Δ≤0\Delta \le 0Δ≤0 时，方程不表示圆，此时只要 ddd 与 Δ\DeltaΔ 不同时为 000，上不等式也成立．

因此，上面的不等式成立不一定说明方程表示圆，还需要加上方程表示圆的条件排除不表示圆的情形．

但在例题 1.2.3 中，判定点在圆内，用到的不等式为

x02+y02+Dx0+Ey0+F>0 ⟹ d2<Δ4{x_0}^2 + {y_0}^2 + Dx_0 + Ey_0 + F > 0 \implies d^2 < \df{\Delta} 4x02+y02+Dx0+Ey0+F>0⟹d2<4Δ这个不等式自动限制了 Δ>0\Delta > 0Δ>0，因此这个不等式成立时，方程表示的一定是圆，因此无需再加条件舍去解．

因此，对于 Δ\DeltaΔ 含参，不确定正负性的一般式：

点在圆外需要额外讨论 Δ\DeltaΔ，舍去非圆情形．

点在圆内不需要讨论 Δ\DeltaΔ（当然讨论也可）．

点在圆上需要讨论 Δ\DeltaΔ，因为 d=Δ=0d = \Delta = 0d=Δ=0 时，等式 x02+y02+Dx0+Ey0+F=0{x_0}^2 + {y_0}^2 + Dx_0 + Ey_0 + F = 0x02+y02+Dx0+Ey0+F=0 成立，但原方程表示的不是圆．

点到圆上一动点距离值域

已知 ⊙C\odot C⊙C 和一点 AAA，求点 AAA 到 ⊙C\odot C⊙C 上一动点 PPP 的距离取值范围．

记号：

⊙C\odot C⊙C 半径为 rrr，为动点与圆心的距离．

∣AC∣=d|AC| = d∣AC∣=d，为定点与圆心的距离．

所求距离 ∣AP∣=a|AP| = a∣AP∣=a，为动点与定点的距离．

结论：aaa 的值域为

[∣d−r∣,d+r][|d - r|, d + r][∣d−r∣,d+r]

下面只证明 aaa 的最小值是 ∣d−r∣|d - r|∣d−r∣，最大值是 d+rd + rd+r，至于为什么 [∣d−r∣,d+r][|d - r|, d + r][∣d−r∣,d+r] 中的每个值都一定能取到，可以感性理解为「PPP 移动时距离连续变化」，严格的证明没有必要．

最值外取不到

根据两点之间线段最短，我们有：

{∣AP∣+∣PC∣≥∣AC∣∣AC∣+∣CP∣≥∣AP∣∣CA∣+∣AP∣≥∣CP∣\begin{cases}

|AP| + |PC| \ge |AC| \\

|AC| + |CP| \ge |AP| \\

|CA| + |AP| \ge |CP|

\end{cases}⎩⎨⎧∣AP∣+∣PC∣≥∣AC∣∣AC∣+∣CP∣≥∣AP∣∣CA∣+∣AP∣≥∣CP∣

即

{d+r≥aa+r≥da+d≥r\begin{cases}

d + r \ge a \\

a + r \ge d \\

a + d \ge r

\end{cases}⎩⎨⎧d+r≥aa+r≥da+d≥r

这等价于 max⁡(d−r,r−d)≤a≤d+r\max(d - r, r - d) \le a \le d + rmax(d−r,r−d)≤a≤d+r，即 ∣d−r∣≤a≤d+r|d - r| \le a \le d + r∣d−r∣≤a≤d+r．

最值可以取到

现证明最小值 ∣d−r∣|d - r|∣d−r∣ 和最大值 d+rd + rd+r 均能被取到，并说明取到时的情形．

作直线 ACACAC，其一定与圆有两个交点（因为 CCC 在圆内部），且一个交点 P1P_1P1 位于从 CCC 出发远离 AAA 一侧的方向，一个交点 P2P_2P2 位于从 CCC 出发靠近 AAA 一侧的方向．

不难发现 P1P_1P1 取到最大值 d+rd + rd+r，P2P_2P2 取到最小值 ∣d−r∣|d - r|∣d−r∣，证毕．

例题 1.3已知点 M(x,y)M(x, y)M(x,y) 在 ⊙C\odot C⊙C：x2+y2−4x+6y+9=0x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0x2+y2−4x+6y+9=0 上，求 x2+y2+2x−2y−4x^2 + y^2 + 2x - 2y - 4x2+y2+2x−2y−4 的取值范围．

例题 1.3 解答根据隐距离的知识，容易发现所求可以转化为 (x+1)2+(y−1)2−6(x + 1)^2 + (y - 1)^2 - 6(x+1)2+(y−1)2−6 的取值范围，即 (x,y)(x, y)(x,y) 到 (−1,1)(-1, 1)(−1,1) 的距离的平方 −6-6−6 的取值范围．计算 (x,y)(x, y)(x,y) 到 (−1,1)(-1, 1)(−1,1) 的距离取值范围即可．

所给圆配方得 (x−2)2+(y+3)2=4(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4(x−2)2+(y+3)2=4，圆心为 (2,−3)(2, -3)(2,−3)，半径为 222．

(−1,1)(-1, 1)(−1,1) 与圆心 (2,−3)(2, -3)(2,−3) 的距离为 555，圆的半径为 222，因此所求距离的取值范围是 [3,7][3, 7][3,7]．

原式取值范围为该距离的平方 −6-6−6 的取值范围，即 [3,43][3, 43][3,43]．

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系内容

⊙A\odot A⊙A 和直线 lll 的位置关系有三种：lll 与 ⊙A\odot A⊙A 相离；lll 与 ⊙A\odot A⊙A 相交；lll 与 ⊙A\odot A⊙A 相切．

设圆心 AAA 到 lll 的距离为 ddd，⊙A\odot A⊙A 的半径为 rrr，则：

lll 与 ⊙A\odot A⊙A 相离，当且仅当 d>rd > rd>r，当且仅当 lll 与 ⊙A\odot A⊙A 没有交点．

lll 与 ⊙A\odot A⊙A 相交，当且仅当 d

lll 与 ⊙A\odot A⊙A 相切，当且仅当 d=rd = rd=r，当且仅当 lll 与 ⊙A\odot A⊙A 恰有一个交点．

判断直线与圆的位置关系有两种角度，对应地，在解析几何中我们也有两套判断方式．

距离法

用点到直线的距离公式算出 ddd，直接和 rrr 比较，即可得到圆与直线的位置关系．

判别式法

还可以从交点数量的角度判断直线与圆的位置关系．联立直线与圆的方程：

{Ax+By+C=0x2+y2+Dx+Ey+F=0\begin{cases}

Ax + By + C = 0\\

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

\end{cases}{Ax+By+C=0x2+y2+Dx+Ey+F=0

这虽然是一个二元二次方程组，但有一个方程是一次的．

不妨设 B≠0B \ne 0B=0，此时 yyy 可以由 xxx 线性表出；利用这个线性关系将第二个方程的 yyy 消去，使其变为二元一次方程．

（如果 B=0B = 0B=0，则一定有 A≠0A \ne 0A=0，反过来将 xxx 用 yyy 线性表出即可．）

形式化地，当 B≠0B \ne 0B=0 时，我们可以将方程等价变形为：

{y=f1(x)f2(x,y)=0\begin{cases}

y = f_1(x) \\

f_2(x, y) = 0

\end{cases}{y=f1(x)f2(x,y)=0

然后等价变形为：

{y=f1(x)f2(x,f1(x))=0\begin{cases}

y = f_1(x) \\

f_2(x, f_1(x)) = 0

\end{cases}{y=f1(x)f2(x,f1(x))=0

根据第一个方程，一个 xxx 恰好对应一个 yyy．那么，

f2(x,f1(x))=0f_2(x, f_1(x)) = 0f2(x,f1(x))=0 方程解的个数 === 整个方程组解的个数 === 圆与直线的交点总数．

因此判断 f2(x,f1(x))=0f_2(x, f_1(x)) = 0f2(x,f1(x))=0 方程解的个数即可．

f2(x,f1(x))=0f_2(x, f_1(x)) = 0f2(x,f1(x))=0 是一个二元一次方程，判断其解的个数，我们可以判断 Δ\DeltaΔ 的正负性．

Δ=0\Delta = 0Δ=0 时有一个解，对应一个交点，对应相切．

Δ>0\Delta > 0Δ>0 时有两个解，对应两个交点，对应相交．

Δ<0\Delta < 0Δ<0 时有零个解，对应零个交点，对应相离．

例题 2.1判断直线 x−y+4=0x - y + 4 = 0x−y+4=0 与圆 x2+y2=8x^2 + y^2 = 8x2+y2=8 的位置关系．

例题 2.1 解答联立：

{x−y+4=0x2+y2=8\begin{cases}

x - y + 4 = 0 \\

x^2 + y^2 = 8

\end{cases}{x−y+4=0x2+y2=8变形为

{y=x+4x2+(x+4)2=8\begin{cases}

y = x + 4 \\

x^2 + (x + 4)^2 = 8

\end{cases}{y=x+4x2+(x+4)2=8该方程组解的个数与 x2+(x+4)2=8x^2 + (x + 4)^2 = 8x2+(x+4)2=8 中解的个数相同，整理得 x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0x2+4x+4=0．

计算其判别式 Δ=42−4×4=0\Delta = 4^2 - 4 \times 4 = 0Δ=42−4×4=0，直线与圆相切．

该方法可将直线与圆的交点坐标顺便解出．但这里有一个注意事项．来看下面的错误示范：

例题 2.1判断直线 x−y+4=0x - y + 4 = 0x−y+4=0 与圆 x2+y2=8x^2 + y^2 = 8x2+y2=8 的位置关系．

例题 2.1 错误解答示范联立：

{x−y+4=0x2+y2=8\begin{cases}

x - y + 4 = 0 \\

x^2 + y^2 = 8

\end{cases}{x−y+4=0x2+y2=8变形为

{y=x+4x2+(x+4)2=8\begin{cases}

y = x + 4 \\

x^2 + (x + 4)^2 = 8

\end{cases}{y=x+4x2+(x+4)2=8代入消元，第二个方程变形为 x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0x2+4x+4=0，解得 x=−2x = -2x=−2．将 x=−2x = -2x=−2 代入第二个方程后，有 (−2)2+y2=8(-2)^2 + y^2 = 8(−2)2+y2=8，解得 y=2y = 2y=2 或 y=−2y = -2y=−2．

因此，直线与圆有两个交点，直线与圆相交．

上面做法的错误之处在于：

{y=x+4x2+(x+4)2=8\begin{cases}

y = x + 4 \\

x^2 + (x + 4)^2 = 8

\end{cases}{y=x+4x2+(x+4)2=8

其等价的结果应为：

{y=x+4x=2\begin{cases}

y = x + 4 \\

x = 2

\end{cases}{y=x+4x=2

利用圆方程解出 xxx 后，必须重新代入直线方程才能得到正确的 yyy．

直线与圆的位置关系两种方法比较

首选距离法．判别式法与距离法相比，计算量一般更大，尤其当方程含参时一定选择距离法．

当询问直线和圆的交点坐标时，再考虑联立法．

当已知含参直线与圆相切，求切点坐标时，先用距离法把参数求出，再联立方程求坐标．

事实上，单纯运用判别式判定交点数几乎不用，因为使用判别式法的情景通常都是要进一步求具体交点坐标．

例题 2.2若直线 3x+4y+5=03x + 4y + 5 = 03x+4y+5=0 与圆 (x+a)2+(y+1)2=1(x + a)^2 + (y + 1)^2 = 1(x+a)2+(y+1)2=1 恰有一个公共点，求 aaa 的值．

例题 2.2 解答由题可知圆心为 (−a,−1)(-a, -1)(−a,−1)，半径为 111．

圆心到直线的距离为 111，即 ∣−3a−4+5∣32+42=1\df{|-3a - 4 + 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 132+42∣−3a−4+5∣=1，解得 a=−2a = -2a=−2 或 a=−43a = -\df 43a=−34．

过一点作圆的切线方程

过圆外或圆上一点 AAA 作 ⊙C\odot C⊙C 的切线 lll，求 lll 的方程．

先根据 lll 过点 AAA 列出斜率为参数 kkk 的点斜式方程．

特判斜率不存在这一步需要提前讨论直线斜率不存在的情形，即要先判断过 AAA 的竖直线是否与 ⊙C\odot C⊙C 相切．

然后利用距离法，根据圆心 CCC 到 lll 的距离等于 rrr 列出方程，求出参数 kkk 的值．

例题 2.3.1从 ⊙C ⁣:(x−1)2+(y−1)2=1\odot C \colon (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1⊙C:(x−1)2+(y−1)2=1 外一点 P(2,3)P(2, 3)P(2,3) 向圆引切线，求切线方程．

例题 2.3.1 解答⊙C\odot C⊙C 的圆心为 (1,1)(1, 1)(1,1)，半径为 111，设过 PPP 的直线 lll 为圆的切线．

当 lll 不存在斜率时，l ⁣:x=2l \colon x = 2l:x=2，圆心到 lll 的距离等于半径，因此 x=2x = 2x=2 是一条切线．

当 lll 存在斜率 kkk 时，设 l ⁣:y−3=k(x−2)l \colon y - 3 = k(x - 2)l:y−3=k(x−2)，则圆心到 lll 的距离等于 rrr．

lll 的一般式为 kx−y−2k+3=0kx - y - 2k + 3 = 0kx−y−2k+3=0，则

∣k−1−2k+3∣k2+1=1\df{|k - 1 - 2k + 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1k2+1∣k−1−2k+3∣=1解得 k=34k = \df 3 4k=43，整理可得 l ⁣:3x−4y+6=0l \colon 3x - 4y + 6 = 0l:3x−4y+6=0．

综上，lll 的方程为 x=2x = 2x=2 或 3x−4y+6=03x - 4y + 6 = 03x−4y+6=0．

善用圆外一点必能引出两条切线圆外一点向圆必定可以引出两条切线．

因此，在填选中，对于圆外一点向圆引切线的题目，可直接考虑设 kkk 解方程：

如果只算出来一个解，说明另一个解是竖直线．

如果算出两个解，则竖直线一定不是解．

在大题中该讨论还是要讨论，当然可以根据必定引出两条切线检验自己是否算错．

注意：圆上一点只能引出一条切线，没有上述结论．

圆上一点求切线方程简便做法

过圆上一点 AAA 作 ⊙C\odot C⊙C 的切线 lll，求 lll 的方程．

考虑到圆上一点的切线与过该点的半径垂直，lll 存在法向量 CA→\overrightarrow{CA}CA．

再根据 AAA 在 lll 上，可直接根据点法式写出 lll 的方程．

这个做法比设 kkk 简单很多，因此对于点在圆上的题目请采用这种策略计算切线方程．

例题 2.3.2过点 P(3,1)P(3, 1)P(3,1) 作 (x−1)2+y2=5(x - 1)^2 + y^2 = 5(x−1)2+y2=5 的切线，求切线方程．

例题 2.3.2 解答先判定一下 PPP 的位置．(3−1)2+12=5(3 - 1)^2 + 1^2 = 5(3−1)2+12=5，因此 PPP 在圆上．

圆心 C(1,0)C(1, 0)C(1,0)，CP→=(2,1)\overrightarrow{CP} = (2, 1)CP=(2,1)，点法式给出切线方程

2x+y=2×3+1×1=72x + y = 2 \times 3 + 1 \times 1 = 72x+y=2×3+1×1=7即 2x+y−7=02x + y - 7 = 02x+y−7=0．

备注过一点求切线方程的题目，应优先判定点与圆的位置关系，从而找到最简单的解题策略．

圆的弦长公式

一直线 lll 与 ⊙C\odot C⊙C 交于 AAA，BBB 两点，求 ∣AB∣|AB|∣AB∣．

联立 lll 与 ⊙C\odot C⊙C，求出两个交点的坐标，用两点间距离公式计算是最直接的方案，但很繁琐，完全不推荐使用．

更明智的策略是：

计算圆心 ⊙C\odot C⊙C 到直线 lll 的距离 ddd．这个距离即圆心到弦的距离，称作弦心距．

设 ⊙C\odot C⊙C 半径为 rrr，则 2r2−d2\red{2}\sqrt{r^2 - d^2}2r2−d2 即为答案．

正确性：基于垂径定理与勾股定理，可以发现半弦长为 r2−d2\sqrt{r^2 - d^2}r2−d2，其二倍即为弦长．

该公式可以将难求的弦长转化为易求的弦心距．

例题 2.4.1求直线 x−3y+23=0x - \sqrt 3 y + 2 \sqrt 3 = 0x−3y+23=0 被圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4x2+y2=4 截得的弦长．

例题 2.4.1 解答弦心距为 2312+32=3\df{2 \sqrt 3}{\sqrt{1^2 + \sqrt 3^2}} = \sqrt 312+3223=3，圆的半径为 4=2\sqrt 4 = 24=2．

因此半弦长为 22−32=1\sqrt{2^2 - \sqrt 3^2} = 122−32=1，弦长为 222．

解决弦长问题，核心的几何结构是弦心距与半弦长为直角边，半径为斜边的直角三角形，后文称之为「弦三角」．弦三角不仅能求弦长，还可以处理很多与弦有关的条件．比如 ⊙C\odot C⊙C 的弦 ABABAB 中，

∣AB∣|AB|∣AB∣（弦长条件）．

∠ACB\angle ACB∠ACB（圆心角）．

△ACB\triangle ACB△ACB 的面积．

CA→⋅CB→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}CA⋅CB（即 r2cos⁡∠ACBr^2\cos \angle ACBr2cos∠ACB，重点仍然是圆心角）．

这些条件都要联想到弦三角，从而简化运算．

例题 2.4.2已知 P(1,−1)P(1, -1)P(1,−1) 为圆 x2+y2−6x=0x^2 + y^2 - 6x = 0x2+y2−6x=0 的弦 MNMNMN 的中点，求弦 MNMNMN 所在直线方程．

例题 2.4.2 解答设圆心 C(3,0)C(3, 0)C(3,0)，根据垂径定理，不难发现 MNMNMN 是一条经过点 PPP，法向量 PC→\overrightarrow{PC}PC 的直线．

PC→=(2,1)\overrightarrow{PC} = (2, 1)PC=(2,1)，点法式给出

MN ⁣:2x+y=2×1+1×(−1)=1MN\colon 2x + y = 2 \times 1 + 1 \times (-1) = 1MN:2x+y=2×1+1×(−1)=1即 2x+y−1=02x + y - 1 = 02x+y−1=0．

例题 2.4.3已知直线 l ⁣:mx+y+3m−3=0l \colon mx + y + 3m - \sqrt 3 = 0l:mx+y+3m−3=0 与圆 x2+y2=12x^2 + y^2 = 12x2+y2=12 交于 AAA，BBB，过 AAA，BBB 分别作 lll 的垂线与 xxx 轴交于 CCC，DDD 两点，若 ∣AB∣=23|AB| = 2\sqrt 3∣AB∣=23，求 ∣CD∣|CD|∣CD∣ 的值．

例题 2.4.3 解答∣AB∣=23|AB| = 2\sqrt 3∣AB∣=23 为弦长，考虑转化为弦心距．

半弦长 3\sqrt 33，半径 232 \sqrt 323，勾股可知弦心距为 333．

因此圆心 (0,0)(0, 0)(0,0) 到直线 mx+y+3m−3=0mx + y + 3m - \sqrt 3 = 0mx+y+3m−3=0 的距离为 333，解得 m=−33m = -\df{\sqrt 3} 3m=−33．

因此 l ⁣:y=33x+23l \colon y = \df{\sqrt 3}3 x + 2\sqrt 3l:y=33x+23，画图：

当然，我们可以选择将 AAA，BBB 的坐标算出，然后作垂线，再求 CCC，DDD 的坐标，最后计算结果．但是不要忘记：我们还有通常比解析法更简单的几何法．

作垂 CE⊥BDCE \perp BDCE⊥BD 交 BDBDBD 于 EEE，则四边形 ABCEABCEABCE 构成矩形，∣CE∣=∣AB∣=23|CE| = |AB| = 2\sqrt 3∣CE∣=∣AB∣=23．

而 lll 的斜率为 33\df {\sqrt 3} 333，倾斜角为 π6\df \pi 66π，又 CE∥lCE \parallel lCE∥l，因此 ∠ECD=π6\angle ECD = \df \pi 6∠ECD=6π．

这样以来，∣CD∣=∣CE∣cos⁡π6=4|CD| = \df{|CE|}{\cos \fr \pi 6} = 4∣CD∣=cos6π∣CE∣=4，计算完毕．

圆的弦长值域

对于 ⊙C\odot C⊙C 和在圆内的一点 PPP，经过 PPP 的无数条弦中：

连接 CPCPCP．

弦长最大值为直径，将 CPCPCP 两端延长至与圆相交时，该弦即最长弦．

弦长最小值为垂直于 CPCPCP 的弦．

最大值的证明是显然的．最小值的证明，是考虑到半弦长 lll 与弦心距 ddd 满足关系式

d2+l2=r2d^2 + l^2 = r^2d2+l2=r2

当 lll 最小时，ddd 应当最大，即弦心距最大．

由于弦过定点 PPP，可知弦心距最大 ∣CP∣|CP|∣CP∣．上面的动画可以直观看出，任意弦的弦心距 ∣CH∣≤∣CP∣|CH| \le |CP|∣CH∣≤∣CP∣．

例题 2.5已知 ⊙P ⁣:x2+(y+23)2=25\odot P \colon x^2 + (y + 2\sqrt 3)^2 = 25⊙P:x2+(y+23)2=25 被直线 x+my+2=0x + my + 2 = 0x+my+2=0 被直线 x+my+2=0x + my + 2 = 0x+my+2=0 截得的弦长为整数，求满足条件的 mmm 的数量．

例题 2.5 解答直线拆为交点直线系 x+2+my=0x + 2 + my = 0x+2+my=0，可知过定点 Q(−2,0)Q(-2, 0)Q(−2,0) 且取不到 y=0y = 0y=0，即 x 轴．

(−2)2+(0+23)2<25(-2)^2 + (0 + 2\sqrt 3)^2 < 25(−2)2+(0+23)2<25，可知 QQQ 在圆内，假设直线可以任意转动，根据结论：

弦长最大值为直径 101010．

弦长最小值为弦心距等于 ∣PQ∣=4|PQ| = 4∣PQ∣=4 时，此时半弦长为 52−42=3\sqrt{5^2 - 4^2} = 352−42=3，弦长为 666．

根据对称性，弦长为整数的弦应有 888 条：

现在检验取不到的 x 轴是否对应这里的一条弦．弦心距为 232\sqrt 323，此时半弦长为 13\sqrt{13}13，不为整数，因此不对应这里的弦．

因此 888 条弦均能取到，而一条弦对应一个参数取值（在交点直线系已给出证明），答案为 888．

圆的切线长公式

⊙C\odot C⊙C 外一点 PPP 向 ⊙C\odot C⊙C 引出两条切线 PM1PM_1PM1，PM2PM_2PM2，切点分别为 M1M_1M1，M2M_2M2，求 ∣PM1∣|PM_1|∣PM1∣ 与 ∣PM2∣|PM_2|∣PM2∣．

可以联立求切点坐标，用两点间距离公式计算，但同理很繁琐，完全不推荐使用．

更好的策略是：

切线长定理给出 ∣PM1∣=∣PM2∣|PM_1| = |PM_2|∣PM1∣=∣PM2∣，这两个一致的长度统一称作切线长．

计算 PPP 到圆心 ⊙C\odot C⊙C 的距离 ddd．

设 ⊙C\odot C⊙C 半径为 rrr，则切线长等于 d2−r2\sqrt{d^2 - r^2}d2−r2．

上面的做法根据过切点的半径与切线垂直，由勾股定理易得．

切线长对应的几何结构是半径、切线长为直角边，点心距为斜边的直角三角形，下文称之为「切三角」．与弦长类似，只要遇到有关圆的切线长的条件，就可以考虑利用切三角转化为点心距的条件．

例题 2.6已知 ⊙M ⁣:(x+1)2+(y−2)2=1\odot M \colon (x+1)^2 + (y-2)^2 = 1⊙M:(x+1)2+(y−2)2=1，点 PPP 在直线 l ⁣:y=x−1l \colon y = x - 1l:y=x−1 上，设半径为 555 的 ⊙N\odot N⊙N 与 ⊙M\odot M⊙M 相离，过点 PPP 分别作 ⊙M\odot M⊙M、⊙N\odot N⊙N 的切线，切点分别为 AAA、BBB，若对任意点 PPP 均有 ∣PA∣=∣PB∣|PA| = |PB|∣PA∣=∣PB∣，求圆心 NNN 的坐标．

例题 2.6 解答设 P(p,p−1)P(p, p - 1)P(p,p−1)，将切线长条件处理为点心距条件：

∣PA∣=∣PB∣ ⟺ ∣PA∣2=∣PB∣2 ⟺ ∣PM∣2−12=∣PN∣2−52|PA| = |PB| \iff |PA|^2 = |PB|^2 \iff |PM|^2 - 1^2 = |PN|^2 - 5^2∣PA∣=∣PB∣⟺∣PA∣2=∣PB∣2⟺∣PM∣2−12=∣PN∣2−52设 N(m,n)N(m, n)N(m,n)，则

(p+1)2+(p−1−2)2−12=(p−m)2+(p−1−n)2−52(p + 1)^2 + (p - 1 - 2)^2 - 1^2 = (p - m)^2 + (p - 1 - n)^2 - 5^2(p+1)2+(p−1−2)2−12=(p−m)2+(p−1−n)2−52该方程应对任意 p∈Rp \in \Rp∈R 恒成立，将其整理为 ppp 为未知元，mmm、nnn 为参数的方程：

2(m+n−1)p+33−m2−n2−2n=02(m + n - 1)p + 33 - m^2 - n^2 - 2n = 02(m+n−1)p+33−m2−n2−2n=0因此有

{2(m+n−1)=033−m2−n2−2n=0\bcs

2(m + n - 1) = 0 \\

33 - m^2 - n^2 - 2n = 0

\ecs{2(m+n−1)=033−m2−n2−2n=0解得 {m=5n=−4\bcs m = 5 \\ n = -4 \ecs{m=5n=−4 或 {m=−3n=4\bcs m = -3 \\ n = 4 \ecs{m=−3n=4，即 N1(5,−4)N_1(5, -4)N1(5,−4)，N2(−3,4)N_2(-3, 4)N2(−3,4)．

根据 ⊙N\odot N⊙N、⊙M\odot M⊙M 相离，∣NM∣>6|NM| > 6∣NM∣>6，可舍去 N2N_2N2，N(5,−4)N(5, -4)N(5,−4)．

切点弦

对于 ⊙C\odot C⊙C 和在该圆外的一点 PPP，从 PPP 出发可以作 ⊙C\odot C⊙C 的两条切线，从而形成两个切点 AAA 和 BBB．ABABAB 连接得到的弦称作切点弦．

切点弦综合了切线与弦两个元素，就同时涉及到了「弦三角」与「切三角」两个结构．

结论：点心距 ∣PC∣|PC|∣PC∣ 越大，切线长 ∣PA∣|PA|∣PA∣ 越大，切点弦 ∣AB∣|AB|∣AB∣ 越长．

结论证明∣PC∣|PC|∣PC∣ 越大，切线长 ∣PA∣=∣PC∣2−∣AC∣2|PA| = \sqrt{|PC|^2 - |AC|^2}∣PA∣=∣PC∣2−∣AC∣2 越大．

α∈(0,π2)\alpha \in (0, \df \pi 2)α∈(0,2π)，此时 sin⁡α\sin \alphasinα 与 α\alphaα 正相关，cos⁡α\cos \alphacosα 与 α\alphaα 负相关．

∣PC∣|PC|∣PC∣ 越大，cos⁡α\cos \alphacosα 越小，sin⁡α\sin \alphasinα 越大，∣AM∣∣AC∣\df{|AM|}{|AC|}∣AC∣∣AM∣ 越大，∣AM∣|AM|∣AM∣ 越大，∣AB∣|AB|∣AB∣ 越大．

圆上一动点坐标线性加和值域

已知圆上一动点 (x,y)(x, y)(x,y)，求 mx+nymx + nymx+ny 的值域．

可以转化为 mx+ny=tmx + ny = tmx+ny=t 何时与已知圆有交点，转化为直线与圆有交点（相交或相切）求参数问题．

例题 2.7x2+y2−8x−6y+21=0x^2 + y^2 - 8x - 6y + 21 = 0x2+y2−8x−6y+21=0 上一动点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0)，求 2x0+y02x_0 + y_02x0+y0 的取值范围．

例题 2.7 解答设 2x+y=m2x + y = m2x+y=m，问题转为 mmm 取何值时，直线 2x+y−m=02x + y - m = 02x+y−m=0 与给定圆存在交点．

配方得 (x−4)2+(y−3)2=22(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 2^2(x−4)2+(y−3)2=22，圆心 (4,3)(4, 3)(4,3)，半径 222．

条件等价于圆心到直径的距离小于等于半径，即

∣2×4+3−m∣22+12≤2\df{|2 \times 4 + 3 - m|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \le 222+12∣2×4+3−m∣≤2解得 mmm 值域为 [11−25,11+25][11 - 2\sqrt 5, 11 + 2\sqrt 5][11−25,11+25]，即答案．

圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系内容

两圆之间的位置关系共有五种：外离；外切；相交；内切；内含．设两圆半径分别为 r1r_1r1，r2r_2r2，两圆圆心的距离（圆心距）为 ddd，则：

d>r1+r2d > r_1 + r_2d>r1+r2 时，两圆外离．

d=r1+r2d = r_1 + r_2d=r1+r2 时，两圆外切．

∣r1−r2∣

d=∣r1−r2∣d = |r_1 - r_2|d=∣r1−r2∣ 时，两圆内切．

d<∣r1−r2∣d < |r_1 - r_2|d<∣r1−r2∣ 时，两圆内含．

特别地：

当 d=0d = 0d=0 时，两圆互为同心圆（它们的圆心相同）．

当 r1=r2r_1 = r_2r1=r2 时，两圆没有内含的情形，内切等价于重合．

确定两圆的位置关系，我们要比较圆心距与半径和、半径差两个量的大小关系．

两圆上两动点距离值域

已知两个圆 ⊙C1\odot C_1⊙C1 和 ⊙C2\odot C_2⊙C2，⊙C1\odot C_1⊙C1 上有一动点 P1P_1P1，⊙C2\odot C_2⊙C2 上有一动点 P2P_2P2，求 P1P_1P1 和 P2P_2P2 间距离的取值范围．

设 ⊙C1\odot C_1⊙C1 半径为 r1r_1r1，⊙C2\odot C_2⊙C2 半径为 r2r_2r2，圆心距 ∣C1C2∣|C_1C_2|∣C1C2∣ 为 ddd，所求 ∣P1P2∣|P_1P_2|∣P1P2∣ 距离为 aaa．

根据两点之间线段最短，有：

{∣P1C1∣+∣C1C2∣+∣C2P2∣≥∣P1P2∣∣C1P1∣+∣P1P2∣+∣P2C2∣≥∣C1C2∣∣P1P2∣+∣P2C2∣+∣C2C1∣≥∣P1C1∣∣P2P1∣+∣P1C1∣+∣C1C2∣≥∣P2C2∣\begin{cases}

|P_1C_1| + |C_1C_2| + |C_2P_2| \ge |P_1P_2| \\

|C_1P_1| + |P_1P_2| + |P_2C_2| \ge |C_1C_2| \\

|P_1P_2| + |P_2C_2| + |C_2C_1| \ge |P_1C_1| \\

|P_2P_1| + |P_1C_1| + |C_1C_2| \ge |P_2C_2|

\end{cases}⎩⎨⎧∣P1C1∣+∣C1C2∣+∣C2P2∣≥∣P1P2∣∣C1P1∣+∣P1P2∣+∣P2C2∣≥∣C1C2∣∣P1P2∣+∣P2C2∣+∣C2C1∣≥∣P1C1∣∣P2P1∣+∣P1C1∣+∣C1C2∣≥∣P2C2∣

即

{r1+d+r2≥ar1+a+r2≥da+r2+d≥r1a+r1+d≥r2\begin{cases}

r_1 + d + r_2 \ge a \\

r_1 + a + r_2 \ge d \\

a + r_2 + d \ge r_1 \\

a + r_1 + d \ge r_2

\end{cases}⎩⎨⎧r1+d+r2≥ar1+a+r2≥da+r2+d≥r1a+r1+d≥r2

综合 a≥0a \ge 0a≥0，整理得：

max⁡(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)≤a≤r1+r2+d\max(|r_1 - r_2| - d, d - r_1 - r_2, 0) \le a \le r_1 + r_2 + dmax(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)≤a≤r1+r2+d

现证明最小值 max⁡(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)\max(|r_1 - r_2| - d, d - r_1 - r_2, 0)max(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0) 和最大值 r1+r2+dr_1 + r_2 + dr1+r2+d 均能被取到，并说明取到时的情形．

左图为两圆相离时的情形．

绿色的 P1P2P_1P_2P1P2 点对距离取到最大值 r1+r2+dr_1 + r_2 + dr1+r2+d．

红色的 P1P2P_1P_2P1P2 点对距离取到最小值 max⁡(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)=d−r1−r2\max(|r_1 - r_2| - d, d - r_1 - r_2, 0) = d - r_1 - r_2max(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)=d−r1−r2．

中图为两圆相交 / 内切 / 外切时的情形．

绿色的 P1P2P_1P_2P1P2 点对距离取到最大值 r1+r2+dr_1 + r_2 + dr1+r2+d．

此时两圆存在交点（紫点），令 P1P2P_1P_2P1P2 同时落在同一个紫点上，可取到最小值 max⁡(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)=0\max(|r_1 - r_2| - d, d - r_1 - r_2, 0) = 0max(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)=0．

右图为两圆内含时的情形．这里设 ⊙C1\odot C_1⊙C1 内含 ⊙C2\odot C_2⊙C2．

绿色点 P1P_1P1 和橙色点 P2P_2P2 间距离取到最大值 r1+r2+dr_1 + r_2 + dr1+r2+d．

红色点 P1P_1P1 和橙色点 P2P_2P2 间距离取到最小值 max⁡(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)=r1−r2−d\max(|r_1 - r_2| - d, d - r_1 - r_2, 0) = r_1 - r_2 - dmax(∣r1−r2∣−d,d−r1−r2,0)=r1−r2−d．

交换 ⊙C1\odot C_1⊙C1 和 ⊙C2\odot C_2⊙C2 便为 ⊙C2\odot C_2⊙C2 内含 ⊙C1\odot C_1⊙C1 的情形，此时最小值取到 r2−r1−dr_2 - r_1 - dr2−r1−d．综合考虑最小值为 ∣r1−r2∣−d|r_1 - r_2| - d∣r1−r2∣−d．

圆中的位置关系

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